Question

设函数f（x）=lnx，g（x）=

a

x

(a＞0)．
（1）当a=2时，求h（x）=f（x）+g（x）的最小值；
（2）若h（x）=f（x）+g（x），在（0，+∞）上有两个不同的零点，求a的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（1）把a=2代入函数解析式，求导后由导函数的零点对定义域分段，求出在各区间段内导函数的符号，则原函数的单调性可求，最小值可求；
（2）把f（x），g（x）的解析式代入函数h（x）=f（x）+g（x），利用导数求出函数h（x）在定义域内的最小值，由最小值小于0求得实数a的取值范围．

解答： 解：（1）a=2时，g（x）=

2

x

，∴h（x）=lnx+

2

x

 （x＞0），
∴h′(x)=

1

x

-

2

x2

=

x-2

x2

．
当0＜x＜2时，h′（x）＜0，
当x＞2，h′（x）＞0，
∴h（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
∴x=2时，h（x）取得最小值h（2）=ln2+1；
（2）h（x）=f（x）+g（x）=lnx+

a

x

 (x＞0)，
∴h′(x)=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

(a＞0)，
当0＜x＜a时，h′（x）＜0，
当x＞a时，h′（x）＞0，
h（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，
∴h（x）的最小值为h（a），
∴要使h（x）在（0，+∞）上有两个不同的零点，则只需h（a）＜0，
∴lna+1＜0，即lna＜-1，
∴0＜a＜

1

e

．
∴a的取值范围是（0，

1

e

）．

点评：本题考查利用导数求函数的最值，考查函数零点个数的判断，体现了数学转化思想方法，属中高档题．