Question

已知函数f（x）的定义域为[0，1]，且同时满足以下三个条件：①f（1）=1；②对任意的x∈[0，1]，都有f（x）≥0； ③当x≥0，y≥0，x+y≤1时总有f（x+y）≥f（x）+f（y）．
（1）试求f（0）的值；
（2）求f（x）的最大值；
（3）证明：当x∈[

1

4

，1]时，恒有2x≥f（x）．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据抽象函数的定义，利用赋值法即可求f（0）的值；
（2）根据条件判断函数的单调性，即可求f（x）的最大值；
（3）根据不等式恒成立的等价条件即可证明：当x∈[

1

4

，1]时，恒有2x≥f（x）．

解答： 解：（1）令x∈[0，1]，y=0，则有f（x）=f（x+0）≥f（x）+f（0），
∴有f（0）≤0，
又根据条件（2）可知f（0）≥0，
故f（0）=0．（也可令x=y=0）．
（2）设0≤x₁＜x₂≤1，
则有f（ x₂）=f（ x₂-x₁+x₁）≥f（ x₂-x₁）+f（ x₁）≥f（ x₁），
即f（x）为增函数（严格来讲为不减函数），
∴f（x）≤f（1）=1，
故f（x）_max=1．
（3）当x∈[

1

2

，1]，有2x≥1，
又由（2）可知f（x）≤1，
∴有2x≥f（x）对任意的x∈[

1

2

，1]恒成立．
当x∈[

1

4

，

1

2

)，有，又由（2）可知f(x)≤f(

1

2

)=

f( 1 2 )+f( 1 2 )

2

≤

f( 1 2 + 1 2 )

2

=

1

2

，
∴有2x≥f（x）对任意x∈[

1

4

，

1

2

)，恒成立．
综上．对任意x∈[

1

4

，1]，恒有2x≥f（x）成立．

点评：本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法是解决抽象函数的基本方法，考查学生的运算能力，综合性较强．