Question

已知f（x）为定义在[-1，1]上的奇函数，且当x∈（0，1]时，f（x）=

2x

4x+1

．
（1）试用函数单调性定义证明：f（x）在（0，1]上是减函数；
（2）求函数f（x）在[-1，1]上的解析式；
（3）要使方程f（x）=x+b在区间[-1，1]上恒有实数解，求实数b的取值范围．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数解析式的求解及常用方法,函数的零点

专题：函数的性质及应用

分析：（1）用定义判定f（x）在区间（0，1]上的单调性，基本步骤是取值，作差，判符号，下结论；                      
（2）由f（x）是[-1，1]上的奇函数，得f（0）=0；由x∈（0，1]时f（x）的解析式，求得x∈[-1，0）时f（x）的解析式，即得所求；
（3）把方程f（x）=x+b化为f（x）-x=b，构造函数g（x）=f（x）-x，求g（x）在[-1，1]上的最值，利用g（x）的图象与y=b有公共点，求出b的取值范围．

解答： 解：（1）对于任意x₁，x₂∈（0，1]，且x₁＞x₂，有
f（x₁）-f（x₂）=

2x1

4x1+1

-

2x2

4x2+1

=

2x1(4x2+1)-2x2(4x1+1)

(4x1+1)(4x2+1)

=

(2x1+x2-1)(2x2-2x1)

(4x1+1)(4x2+1)

；
∵x₁＞x₂＞0，∴x₁+x₂＞0，
∴2x1+x2＞1，4x1+1＞0，4x2+1＞0；
又函数y=2^x 在R内递增，
∴2x1＞2x2，
∴2x2-2x1＜0；
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在 （0，1]上是减函数；                      
（2）由题意f（x）为定义在[-1，1]上的奇函数，
∴f（0）=0；
又x∈（0，1]时，f（x）=

2x

4x+1

，
∴x∈[-1，0）时，-x∈（0，1]，
∴f（-x）=

2-x

4-x+1

=

2x

4x+1

，
∴f（x）=-f（-x）=-

2x

4x+1

；     
综上，函数f（x）在[-1，1]上的解析式为
f（x）=

2x 4x+1 ，x∈(0，1] 0，       x=0 - 2x 4x+1 ，x∈[-1，0)

；                    
（3）方程f（x）=x+b 可化为f（x）-x=b，
记g（x）=f（x）-x，
由（1）及题设知，g（x）在[-1，1]为奇函数，且在（0，1]上是减函数，
∴当x∈（0，1]时，
g_max（x）=g（0）=

1

2

，
g_min（x）=g（1）=-

3

5

，
∴g（x）∈[-

3

5

，

1

2

），
由奇函数的性质，得x∈[-1，0]时，g（x）∈（-

1

2

，

3

5

]，
综上，g（x）值域为[-

3

5

，

3

5

]，
∴当y=g（x） 图象与直线y=b 有公共点时，b的范围为[-

3

5

，

3

5

]，
也即方程f（x）=x+b 在[-1，1]上恒有实数解时b的取值范围为[-

3

5

，

3

5

]．

点评：本题考查了利用定义判定函数的单调性以及求函数的解析式和判定方程用实数解的问题，是综合题．