Question

设函数f(x)=ax+

m

ax

-1（a，m为实常数，a＞0）．
（1）当m＜0，a=2时，用定义证明：y=f（x）在R上是增函数；
（2）设a=2，g(x)=-

m

2x

，F（x）=|f（x）+g（x）|，请你判断F（x+1）与F（x）的大小关系，并说明理由．
（3）当m=1，且x∈[1，2]时，不等式f（x）≥3恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）当m＜0，a=2时，利用的函数单调性的定义即可证明：y=f（x）在R上是增函数；
（2）先求出F（x）的表达式，即可判断F（x+1）与F（x）的大小关系；
（3）将不等式f（x）≥3恒成立，转化为求函数的最值问题，即可求实数a的取值范围．

解答： 解：（1）设x₁＜x₂，f(x1)-f(x2)=2x1+

m

2x1

-1-(2x2+

m

2x2

-1)=(2x1-2x2)(1-

m

2x1+x2

)，
∵2x1-2x2＜0，1-

m

2x1+x2

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
即y=f（x）在R上是增函数．
（2）∵F(x)=|f(x)+g(x)|=|2x+

m

2x

-1-

m

2x

|=|2x-1|=

1-2x  x∈(-∞，0) 2x-1  x∈[0，+∞).

，
[f（x+1）]²-[f（x）]²=|2^x+1-1|²-|2^x-1|²=2^x（3•2^x-2），
∴x＞log2

2

3

 时 f(x+1)＞f(x)，
∴x＜log2

2

3

 时 f(x+1)＜f(x)，
∴x=log2

2

3

 时 f(x+1)=f(x)．
（3）∵f（x）≥3在x∈[1，2]上恒成立，即ax+

1

ax

-1=t+

1

t

-1≥3在x∈[1，2]上恒成立．
①当a＞1时，x∈[1，2]，t∈[a，a²]，g(t)=t+

1

t

-1在[a，a²]上单调递增，g(t)min=g(a)=a+

1

a

-1≥3⇒a≥2+

3

；
②当0＜a＜1时，x∈[1，2]，t∈[a²，a]，g（t）在[a²，a]上单调递减，g(t)min=g(a)=a+

1

a

-1≥3⇒0＜a≤2-

3

；
a=1时明显不成立，
故a的取值范围是：(0，2-

3

]∪[2+

3

，+∞)．

点评：本题主要考查函数单调性的判断，以及不等式恒成立问题，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值是解决本题的关键．