Question

已知双曲线方程为2x²-y²=2，其弦PQ的长是实轴长的2倍，若弦PQ所在的直线l过点A（

3

，0），求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由弦PQ的长是实轴长的2倍，可得|PQ|=4，设l方程：y=k（x-

3

）代入2x²-y²=2，利用韦达定理，计算出弦长，建立方程，即可求直线l的方程．

解答： 解：由2x²-y²=2可得x²-

y2

2

=1，
∴a=1，实轴长2a=2，
∴|PQ|=4，
设l方程：y=k（x-

3

），代入2x²-y²=2得：2x²-k²（x-

3

）²=2
即（2-k²）x²+2

3

k²x-（3k²+2）=0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则x₁+x₂=

2 3 k2

k2-2

，x₁x₂=

3k2+2

k2-2

∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=

16(k2+1)

(k2-2)2

∴|PQ|=

1+k2

|x₁-x₂|=

4(k2+1)

k2-2

=4
∴3k²=4，
∴k=±

2 3

3

，
∴l方程：y=±

2 3

3

（x-

3

）．
斜率不存在时，x=

3

也满足．

点评：本题考查双曲线的性质，考查直线与双曲线的位置关系，考查弦长的计算，正确运用弦长公式是关键．