Question

函数f(x)=x+

a

x

（a为常数）的图象过点（2，0），
（Ⅰ）求a的值并判断f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）函数g（x）=lg[f（x）+2^x-m]在区间[2，3]上有意义，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）根据函数图象过点（2，0），代入即可求a的值并根据函数奇偶性的定义即可判断f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）根据对数函数的性质将条件转化为函数最值恒成立即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）∵f(x)=x+

a

x

（a为常数）的图象过点（2，0），
∴0=2+

a

2

⇒a=-4，
此时f(x)=x-

4

x

，其定义域为{x|x≠0}，
由f（-x）=-f（x），
即f(x)=x-

4

x

为奇函数；
（Ⅱ）函数g（x）=lg[f（x）+2^x-m]在区间[2，3]上有意义，
即x-

4

x

+2x-m＞0对x∈[2，3]恒成立，
得(x-

4

x

+2x)min＞m，
令h(x)=x-

4

x

+2x，x∈[2，3]先证其单调递增：
任取2≤x₁＜x₂≤3，
则h(x2)-h(x1)=x2-

4

x2

+2x2-(x1-

4

x1

+2x1)=

(x2-x1)(x1x2+4)

x1x2

+(2x2-2x1)
∵2≤x₁＜x₂≤3，
∴h（x₂）-h（x₁）＞0，
故h（x）在x∈[2，3]递增，
则(x-

4

x

+2x)min=h(2)=4，得m＜4．

点评：本题主要考查函数奇偶性的定义和判断，结合对数的性质将恒成立进行转化为求函数的最值是解决本题的关键．