Question

设A、B、P是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上不同的三个点，且A、B连线经过坐标原点，若直线PA、PB的斜率之积为

1

4

，则该双曲线的离心率为（　　）

• A、

  5

  2

• B、

  6

  2

• C、

  2

• D、

  15

  3

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由于A，B连线经过坐标原点，所以A，B一定关于原点对称，利用直线PA，PB的斜率乘积，可寻求几何量之间的关系，从而可求离心率．

解答： 解：根据双曲线的对称性可知A，B关于原点对称，
设A（x₁，y₁），B（-x₁，-y₁），P（x，y），
则

x12

a2

-

y12

b2

=1，

x2

a2

-

y2

b2

=1
∴k_PA•k_PB=

y1-y

x1-x

•

-y1-y

-x1-x

=

b2

a2

=

1

4

，
∴该双曲线的离心率e=

1+ b2 a2

=

5

2

．
故选：A．

点评：本题主要考查双曲线的几何性质，考查点差法，关键是设点代入化简，应注意双曲线几何量之间的关系．