Question

已知点P是双曲线

x2

4a2

-

y2

a2

=1上的一点（a＞0），以点P及双曲线两焦点F₁、F₂为顶点的三角形的面积等于1，且∠F₁PF₂=90°，求a的值．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设|PF₁|=m，|PF₂|=n，根据双曲线定义得到|m-n|=4a，结合∠F₁PF₂=90°可得m²+n²=（2c）²=20a²，再结合以点P及双曲线两焦点F₁、F₂为顶点的三角形的面积等于1，即可得到结论，

解答： 解：因为P在双曲线上，设|PF₁|=m，|PF₂|=n，
则|m-n|=4a…（1）
由∠F₁PF₂=90°，可得m²+n²=（2c）²=20a²…（2）
则（1）²-（2）得：-2mn=-16a²，
∴mn=8a²，
∴直角△F₁PF₂的面积：S=

1

2

mn=4a²=1，
∵a＞0，
∴a=

1

2

．

点评：本题主要考查双曲线的基本性质．在涉及到与焦点有关的题目时，一般都用定义求解．