Question

设函数f（x）是定义在[-1，0）∪（0，1]上的奇函数，当x∈[-1，0）时，f(x)=2x+

1

x2

(x∈R)．
（1）当x∈（0，1]时，求f（x）的解析式；
（2）判断f（x）在（0，1]上的单调性，并证明你的结论．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数解析式的求解及常用方法,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数奇偶性的性质即可求当x∈（0，1]时的f（x）的解析式；
（2）根据函数单调性的定义即可判断f（x）在（0，1]上的单调性．

解答： 解：（1）当x∈（0，1]时，-x∈[-1，0），
∵当x∈[-1，0）时，f(x)=2x+

1

x2

(x∈R)．
∴当-x∈[-1，0）时，f（-x）=-2x+

1

x2

，
∵y=f（x）是定义在[-1，0）∪（0，1]上的奇函数，
∴f（-x）=-2x+

1

x2

=-f（x），
即f（x）=2x-

1

x2

，
（2）任取0＜x₁＜x₂≤1，
则f(x1)-f(x2)=2(x1-x2)+(

1

x1

)2-(

1

x2

)2
=2(x1-x2)+

(x1-x2)(x1+x2)

x1x2

=(x1-x2)(2+

x1+x2

x1x2

)，
∵0＜x₁＜x₂≤1，
∴x₁-x₂＜0，2+

x1+x2

x1x2

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（0，1]上的单调递增，为增函数．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用函数单调性的定义和奇偶性的性质是解决本题的关键．