Question

已知指数函数g（x）=a^x满足：g(-3)=

1

8

，定义域为R的函数f(x)=

g(x)-1

g(x)+m

是奇函数．
（1）求f（x）的解析式；
（2）判断f（x）在其定义域上的单调性，并求函数的值域；
（3）若不等式：t•f（x）≥4^x-2^x+2+3对x∈[1，2]恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数解析式的求解及常用方法,函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）直接由g(-3)=

1

8

，求得a的值，得到g（x）的解析式，则f（x）可求，利用函数奇偶性的定义证明f（x）为奇函数；
（2）∵2^x是定义域上的增函数，∴-

2

2x+1

是定义域上的减函数，从而得到函数f（x）的单调性，由指数函数的值域求得f（x）的值域；
（3）把f（x）的解析式代入t•f（x）≥4^x-2^x+2+3，分离变量t后利用配方法求得（2^x）²-2•2^x-3在[1，2]
上的值域，从而求得实数t的取值范围．

解答： 解：（1）∵g（x）=a^x，
由g(-3)=

1

8

⇒a-3=

1

8

⇒a=2，∴f(x)=

2x-1

2x+m

，
又f（x）为奇函数，∴f（-x）=-f（x），即

2-x-1

2-x+m

=-

2x-1

2x+m

，
化简得1+m•2^x=2^x+m对x∈R恒成立，∴m=1，
故f(x)=

2x-1

2x+1

；
（2）f(x)=1-

2

2x+1

，其定义域为R，
由2^x为增函数可知f（x）是R上的增函数，
∵2^x+1＞1，∴0＜

1

2x+1

＜1，-2＜

-2

2x+1

＜0，∴-1＜f（x）＜1，
即函数f（x）的值域为（-1，1）；
（3）t•f（x）≥4^x-2^x+2+3对x∈[1，2]恒成立，
等价于t≥（2^x）²-2•2^x-3对x∈[1，2]恒成立，
而在[1，2]上（2^x）²-2•2^x-3=（2^x-1）²-4的最大值为5．
故t≥5．

点评：本题考查指数函数性质，训练了函数奇偶性的判断方法，考查了复合函数单调性的判断方法，考查了恒成立问题，解决含有字母参数的恒成立问题，关键在于转化，即转化为求函数最值问题，然后利用配方法或借助于函数的单调性求解，是中档题．