Question

已知直线l：y=2x-4与抛物线C：y²=4x相交于A，B两点，T（t，0）（t＞0且t≠2）为x轴上任意一点，连接AT，BT并延长与抛物线C分别相交于A₁，B₁．
（1）设A₁B₁斜率为k，求证：k•t为定值；
（2）设直线AB，A₁B₁与x轴分别交于M，N，令S△ATM=S1，S△BTM=S2，S△B1TN=S3，S△A1TN=S4，若S₁，S₂，S₃，S₄构成等比数列，求t的值．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质,等比关系的确定

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件推导出A（4，4），B（1，-2），设A1(

m2

4

，m)，B1(

n2

4

，n)，由kAT=kA1T，求出A₁（

t2

4

，-t），B1(t2，2t)，由此能证明k•t=4是定值．
（2）直线A₁B₁：y-2t=

4

t

(x-t2)，令y=0，得N（

t2

2

，0），由M（2，0），推导出S2=

1

2

S1，S₄=

t2

8

S1，S3=

t2

4

S1，由S₁，S₂，S₃，S₄构成等比数列，能求出t的值．

解答： 解：（1）解方程组

y=2x-4 y2=4x

，得

x=4 y=4

，或

x=1 y=-2

，
∴A（4，4），B（1，-2），
设A1(

m2

4

，m)，B1(

n2

4

，n)，
∵T（t，0）（t＞0且t≠2）为x轴上任意一点，
连接AT，BT并延长与抛物线C分别相交于A₁，B₁，
∴kAT=kA1T，即

4

4-t

=

m

m2 4 -t

，
∴m²-4t=4m-tm，
∴m（m-4）=t（4-m），
m=4时，易得k•t=4是定值，
m≠4时，有m=-t，∴A₁（

t2

4

，-t），
同理：B1(t2，2t)，
∴k=

3t

t2- t2 4

=

4

t

，
∴k•t=4是定值．（5分）
（2）∵A₁（

t2

4

，-t），B1(t2，2t)，
∴直线A₁B₁：

y-2t

x-t2

=

-t-2t

t2 4 -t2

，
即y-2t=

4

t

(x-t2)，令y=0，得N（

t2

2

，0），
∵M（2，0），∴

S1

S2

=|

yA

yB

|=2，
∴S2=

1

2

S1，

S4

S1

=|

TM•yA1

TE•yA

|=|

t2 2 -t

t-2

•

t

4

|=

t2

8

，
∴S₄=

t2

8

S1，

S3

S1

=|

TN•yB1

TM•yA

|=|

t 2 (t-2)

t-2

•

2t

4

|=

t2

4

，
∴S3=

t2

4

S1，
∵S₁，S₂，S₃，S₄构成等比数列，
∴t²=1，
∵t＞0，∴t=1，
∴t的值是1．（10分）

点评：本题考查抛物线与直线的位置关系及其应用，涉及到等比数列、直线方程、抛物线等知识点，综合性强，难度大，解题时要注意等价转化思想的合理运用．