Question

已知A、B、C是直线l上不同的三点，O是l外一点，向量

OA

，

OB

，

OC

满足：

OA

-（

3

2

x²+1）•

OB

-[ln（2+3x）-y]•

OC

=

0

．记y=f（x）．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）若对任意x∈[

1

6

，

1

3

]不等式|a-lnx|-ln[f′（x）-3x]＞0恒成立，求实数a的取值范围：

Answer 1

考点：函数恒成立问题,平面向量数量积的运算

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）三点关系的等价条件，建立条件关系即可求出函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数的导数，将不等式|a-lnx|-ln[f′（x）-3x]＞0恒成立进行参数分离，然后求出对应函数的最小值与最大值，即可求得结论；

解答： 解：（Ⅰ）向量

OA

，

OB

，

OC

满足：

OA

-（

3

2

x²+1）•

OB

-[ln（2+3x）-y]•

OC

=

0

．
即

OA

=（

3

2

x²+1）•

OB

+[ln（2+3x）-y]•

OC

，
∵A、B、C是直线l上不同的三点
∴（

3

2

x²+1）+[ln（2+3x）-y]=1，
即y=

3

2

x²+ln（2+3x），
∴f（x）=

3

2

x²+ln（2+3x）；
（Ⅱ）∵f（x）=

3

2

x²+ln（2+3x），
∴f'（x）=3x+

3

2+3x

，
∴原不等式|a-lnx|-ln[f′（x）-3x]＞0等价为|a-lnx|-ln

3

2+3x

＞0．
即|a-lnx|＞1n

3

2+3x

．
∴a＞lnx+1n

3

2+3x

=ln

3x

2+3x

或a＜lnx-1n

3

2+3x

=ln

2x+3x2

3

．
设h（x）=ln

3x

2+3x

，g（x）=ln

2x+3x2

3

．
∵x∈[

1

6

，

1

3

]时，函数y=

3x

2+3x

，和y=

2x+3x2

3

都是增函数，
∴函数h（x）=ln

3x

2+3x

，g（x）=ln

2x+3x2

3

也是增函数．
∴当且进行a＜g（

1

6

）或a＞h（

1

3

），
即a＜ln

5

36

或a＞ln

1

3

．

点评：本题主要考查不等式恒成立的应用，考查向量知识，考查函数的单调性与最值，利用三点关系的等价条件，以及复合函数的单调性之间的关系是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大．