Question

已知函数f（x）=|2x-m|和 g（x）=-x²+c（m，c为常数），且对任意x∈R，都有f（x+3）=f（-x）恒成立．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）设函数F（x）满足对任意x∈R，都有F（x）=F（-x），且当x∈[0，3]时，F（x）=f（x）．若存在x₁，x₂∈[-1，3]，使得|F（x₁）-g（x₂）|＜1成立，求实数c的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）根据f（x+3）=f（-x），得到函数关于直线x=

3

2

对称，即可求m的值；
（Ⅱ）由条件得到函数F（x）为偶函数，然后将不等式恒成立转化为求函数的最值问题即可求出c的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=|2x-m|=2|x-

m

2

|，
对任意x∈R都有；f（x+3）=f（-x），
∴f（x）关于直线x=

3

2

对称，
即

m

2

=

3

2

，解得m=3．
∴f（x）=|2x-3|
（Ⅱ）∵F（x）满足对任意x∈R，都有F（x）=F（-x），
∴F（x）是偶函数，
0≤x≤

3

2

时：F（x）=f（x）=|2x-3|=3-2x

3

2

≤x≤3时：F（x）=f（x）=|2x-3|=2x-3
∵F（x）是偶函数
∴-

3

2

≤x≤0时，0≤-x≤

3

2

，F（-x）=3+2x=F（x）
∴-1≤x≤0时：F（x）=3+2x
∴在区间[-1，3]上F（x）最大值为3，最小值为0
若存在x₁和x₂属于[-1，3]，恒有|F（x₁）-g（x₂）|＜1成立．
即是说明：g（x）在区间[-1，3]上的最大值或者最小值与F（x）的最大值或者最小值之间的差值在1之内，
g（x）=-x²+c在[-1，3]之间的最大值为c，最小值为x=3时取得为c-9，
∴|0-c|＜1或者|3-（c-9）|＜1或者|3-c|＜1或者|0-（c-9）|＜1
解得：-1＜c＜1或者11＜c＜13或者2＜c＜4或者8＜c＜10
∴c的取值范围为（-1，13）．

点评：本题主要考查函数奇偶性和对称性的应用，将不等式恒成立转化为求函数的最值是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大．