Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=

1

2

ax2+bx-1，
（1）当a=0且b=1时，证明：对?x＞0，f（x）≤g（x）；
（2）若b=2，且h（x）=f（x）-g（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；
（3）数列{a_n}，若存在常数M＞0，?n∈N^*，都有a_n＜M，则称数列{a_n}有上界．已知b_n=1+

1

2

+…+

1

n

，试判断数列{b_n}是否有上界．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）把f（x）和g（x）作差后构造辅助函数，然后利用导数求函数的最值，由最值的符号得到要证明的结论；
（2）由h（x）=f（x）-g（x）存在单调递减区间，得其导函数小于0在定义域内有解，由导函数分离变量a后换元，然后利用配方法求得分离变量后的代数式的值域，则实数a的范围可求；
（3）令x-1=

1

n

，则x=1+

1

n

，由（1）得到不等式

1

n

≥ln

n+1

n

，累加后可证明数列{b_n}无上界．

解答： （1）证明：当a=0且b=1时，设g（x）=f（x）-g（x）=lnx-（x-1）=lnx-x+1，
对?x＞0，g/(x)=

1

x

-1，解g′（x）=0，得x=1．
当0＜x＜1时，g/(x)=

1

x

-1＞0，g（x）单调递增；
当x＞1时，g/(x)=

1

x

-1＜0，g（x）单调递减，
∴g（x）在x=1处取最大值，
即?x＞0，g（x）≤g（1）=ln1-1+1=0，lnx≤x-1，即f（x）≤g（x）；
（2）解：当b=2时，h（x）=f（x）-g（x）=lnx-

1

2

ax2-2x+1，
∴h′(x)=

1

x

-ax-2=-

ax2+2x-1

x

，
∵函数h（x）存在单调递减区间，∴h'（x）＜0在（0，+∞）上有解，
∴ax²+2x-1＞0在（0，+∞）上有解，
∴a＞

1-2x

x2

在（0，+∞）上有解，即?x∈（0，+∞），使得a＞(

1

x

)2-

2

x

，
令t=

1

x

，x＞0，则t＞0，则y=t²-2t=（t-1）²-1，t＞0，当t=1时，y_min=-1
∴a＞-1；
（3）解：数列{b_n}无上界?n∈N^*．
设x-1=

1

n

，x=1+

1

n

，由（1）得，ln(1+

1

n

)≤

1

n

，

1

n

≥ln

n+1

n

，
∴bn=1+

1

2

+…+

1

n

≥ln

2

1

+ln

3

2

+…+ln

n+1

n

=ln（n+1），
?M＞0，取n为任意一个不小于e^M的自然数，则bn=ln(n+1)＞lneM=M，∴数列{b_n}无上界．

点评：本题考查利用导数研究函数的最值，主要用导函数构造法和数学转化思想方法，解答（3）的关键是借助于（1）的结论得到含有自然数n的不等式

1

n

≥ln

n+1

n

，是难度较大的题目．