Question

已知函数f（x）=|x-2|
（1）解不等式xf（x）+3＞0；
（2）对于任意的x∈（-3，3），不等式f（x）＜m-|x|恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）把f（x）的解析式代入xf（x）+3＞0，去绝对值后化为不等式组，求解不等式组得答案；
（2）把f（x）＜m-|x|，分离变量m后构造分段函数，求解分段函数的最大值，从而得到m的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=|x-2|，
∴xf（x）+3＞0?x|x-2|+3＞0?

x-2≤0 x(2-x)+3＞0

①或

x-2＞0 x(x-2)+3＞0

②，
解①得：-1＜x≤2，
解②得x＞2，
∴不等式xf（x）+3＞0的解集为：（-1，+∞）；
（2）f（x）＜m-|x|?f（x）+|x|＜m，即|x-2|+|x|＜m，
设g（x）=|x-2|+|x|（-3＜x＜3），
则g(x)=

2-2x      -3＜x≤0 2               0＜x≤2 2x-2        2＜x＜3

，
g（x）在（-3，0]上单调递减，2≤g（x）＜8；
g（x）在（2，3）上单调递增，2＜g（x）＜4
∴在（-3，3）上有2≤g（x）＜8，
故m≥8时不等式f（x）＜m-|x|在（-3，3）上恒成立．

点评：本题考查函数恒成立问题，训练了绝对值不等式的解法，考查了分离变量法求求自变量的取值范围，是中档题．