Question

对于函数f₁（x），f₂（x），h（x），如果存在实数a，b使得h（x）=a•f₁（x）+b•f₂（x），那么称h（x）为f₁（x），f₂（x）的生成函数．
（1）下面给出两组函数，h（x）是否分别为f₁（x），f₂（x）的生成函数？并说明理由；
    第一组：f₁（x）=lg

x

10

，f₂（x）=lg10x，h（x）=lgx；
    第二组：f₁（x）=x²-x，f₂（x）=x²+x+1，h（x）=x²-x+1；
（2）设f₁（x）=log₂x，f₂（x）=log 

1

2

x，a=2，b=1，生成函数h（x）．若不等式3h²（x）+2h（x）+t＜0在x∈[2，4]上有解，求实数t的取值范围；
（3）设f₁（x）=x（x＞0），f₂（x）=

1

x

（x＞0），取a＞0，b＞0，生成函数h（x）图象的最低点坐标为（2，8）．若对于任意正实数x₁，x₂且x₁+x₂=1．试问是否存在最大的常数m，使h（x₁）h（x₂）≥m恒成立？如果存在，求出这个m的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）建立h（x）=a•f₁（x）+b•f₂（x），求解a，b是否存在即可得到结论；
（2）将不等式3h²（x）+2h（x）+t＜0在x∈[1，2]上有解，转化为求函数的最值成立，即可求实数t的取值范围；
（3）求出h（x）的表达式，利用基本不等式求对应函数的最值即可得到结论．

解答： 解：（1）第一组：若h（x）=a•f₁（x）+b•f₂（x），
则lgx=a•lg

x

10

+blg10x=（a+b）lgx+（b-a），
则

a+b=1 a-b=0

，即a=

1

2

，b=

1

2

，
∴h（x）是分别为f₁（x），f₂（x）的生成函数．
第二组：f₁（x）=x²-x，f₂（x）=x²+x+1，h（x）=x²-x+1；
若h（x）=a•f₁（x）+b•f₂（x），
则x²-x+1=a•（x²-x）+b（x²+x+1）=（a+b）x²+（b-a）x+b，
则

b=1 b-a=-1 a+b=1

，即

b=1 a=2 a=0

，此时方程无解，
∴h（x）不是为f₁（x），f₂（x）的生成函数．
（2）若f₁（x）=log₂x，f₂（x）=log 

1

2

x，a=2，b=1，生成函数h（x）．
则h（x）=2f₁（x）+f₂（x）=2log₂x+log 

1

2

x=2log₂x-log₂x=log₂x，
则h（x）单调递增，
若不等式3h²（x）+2h（x）+t＜0在x∈[2，4]上有解，
即等价为t＜-3h²（x）-2h（x）=-3log₂²x-2log₂x，
设s=log₂x，则s∈[1，2]，
则y=-3log₂²x-2log₂x=-3s²-2s，
对称轴s=-

1

3

，
∴-16≤y≤-5，
若不等式3h²（x）+2h（x）+t＜0在x∈[2，4]上有解，
则t＜-5，
∴实数t的取值范围是t＜-5；
（3）由题意，得h（x）=af₁（x）+bf₂（x）=ax+

b

x

，
则h（x）=ax+

b

x

≥2

ab

，
∴

2a+ b 2 =8 2 ab =8

，解得a=2，b=8，
∴h（x）=2x+

8

x

，（x＞0），
假设存在最大的常数m，使h（x₁）h（x₂）≥m恒成立．
于是设u=h（x₁）h（x₂）=4(x1+

4

x1

)(x2+

4

x2

)=4x1x2+

64

x1x2

+16(

x1

x2

+

x2

x1

)
=4x1x2+

64

x1x2

+16?

x 2 1 + x 2 2

x1x2

=4x1x2+

64

x1x2

+16?

(x1+x2)2-2x1x2

x1x2

=4x1x2+

80

x1x2

-32，
令t=x₁x₂，则t=x₁x₂≤(

x1+x2

2

)2=

1

4

，
即t∈(0，

1

4

]，
设u=4t+

80

t

-32，在t∈(0，

1

4

]上单调递减，
∴u≥u(

1

4

)=289，
故存在最大的常数m=289．

点评：本题主要考查不等式恒成立问题，将不等式恒成立转化为求函数的最值是解决本题的关键，本题运算量较大，综合性较强，考查学生的计算能力．