Question

已知函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0，b∈R，c∈R）
（Ⅰ）若函数f（x）最小值是f（-1）=0，且c=1，F(x)=

f(x)，x＞0 -f(x)，x＜0

，求F（3）+F（-4）的值
（Ⅱ）若a=1，c=0，且|f（x）|≤1在区间（0，2]上恒成立，试求b的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）根据函数f（x）最小值是f（-1）=0，且c=1，求出a，b，c的值，即可求F（3）+F（-4）的值；
（Ⅱ）将不等式|f（x）|≤1对x∈（0，2]恒成立，转化为参数恒成立，即可求b的取值范围；

解答： 解：（Ⅰ）因为f（x）最小值是f（-1）=0，且c=1
所以

- b 2a =-1 f(-1)=a-b+1=0

，
得

a=1 b=2

所以f（x）=x²+2x+1=（x+1）²，
因为F(x)=

f(x)，x＞0 -f(x)，x＜0

所以F（3）+F（-4）=7．
（Ⅱ）因为a=1，c=0，
所以f（x）=x²+bx，
不等式|f（x）|≤1在区间（0，2]上恒成立，
即-1≤x²+bx≤1在区间（0，2]上恒成立
即  -(

1

x

+x)≤b≤

1

x

-x
解得  -2≤b≤-

3

2

所以b的取值范围是[-2，-

3

2

]．

点评：本题主要考查二次函数的图象和性质，以及不等式恒成立问题，运算量较大，综合性较强，难度较大．