Question

已知函数f(x)=xn-

4

x

，且f（4）=3．
（1）判断f（x）的奇偶性并说明理由；
（2）判断f（x）在区间（0，+∞）上的单调性，并证明你的结论；
（3）若对任意实数x₁，x₂∈[1，3]，有|f（x₁）-f（x₂）|≤t成立，求t的最小值．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）由f（4）=3可得n=1，于是f（x）=x-

4

x

，易求其定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）且f（-x）=-f（x），从而可判断其奇偶性；
（2）任取0＜x₁＜x₂，作差后整理得：f（x₂）-f（x₁）=（x₂-x₁）（1+

4

x1•x2

），易判断f（x₂）-f（x₁）＞0，于是知f（x）在区间（0，+∞）上单调递增；
（3）依题意只需t≥|f（x₁）-f（x₂）|_max，而≥|f（x₁）-f（x₂）|_max=f（x）_max-f（x）_min=f（3）-f（1），从而可得t的最小值．

解答： 解：（1）∵f（4）=4ⁿ-1=3即4ⁿ=4，
∴n=1，
∴f（x）=x-

4

x

，
∵函数定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称，且f（-x）=-x+

4

x

=-（x-

4

x

）=-f（x），
∴f（x）是奇函数；                                 
（2）任取0＜x₁＜x₂，
则f（x₂）-f（x₁）
=x₂-x₁-

4

x2

+

4

x1

=x₂-x₁+

4

x1•x2

（x₂-x₁）
=（x₂-x₁）（1+

4

x1•x2

），
∵0＜x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，x₁•x₂＞0，
∴（x₂-x₁）（1+

4

x1•x2

）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在区间（0，+∞）上单调递增；                  
（3）依题意只需t≥|f（x₁）-f（x₂）|_max，
又|f（x₁）-f（x₂）|_max
=f（x）_max-f（x）_min
=f（3）-f（1）
=（3-

4

3

）-（1-4）
=

14

3

，
∴t≥

14

3

，
∴t_min=

14

3

．

点评：本题考查函数恒成立问题，着重考查函数的奇偶性与单调性的判定与应用，考查等价转化思想与综合运算能力，属于难题．