Question

设抛物线C₁：x²=4y的焦点为F，曲线C₂与C₁关于原点对称，过曲线C₂上任意一点P作C₁的两条切线PA、PB，切点为A、B，证明：线段AB的中点M的坐标满足曲线方程y=

3

4

x²．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题设求出C₂方程，由点差法求出AB的斜率k=

x

2

，设P（x₀，y₀），则由切点弦方程知y=

x0

2

x-y0，由此能证明线段AB的中点M的坐标满足曲线方程y=

3

4

x²．

解答： 证明：∵曲线C₁与C₂关于原点对称，又C₁的方程x²=4y，
∴C₂方程为x²=-4y，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点M（x，y），
则x₁+x₂=2x，
把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入C₁的方程x²=4y，
得：

x12=4y1 x22=4y2

，相减，得：
（x₁-x₂）（x₁+x₂）=4（y₁-y₂），
∴2x（x₁-x₂）=4（y₁-y₂），
∴AB的斜率k=

y1-y2

x1-x2

=

x

2

，
∵过曲线C₂上任意一点P作C₁：x²=4y的两条切线PA、PB，切点为A、B，
设P（x₀，y₀），则由切点弦方程知y=

x0

2

x-y0，
∴x₀=x，y₀=

1

2

x2-y，
∵P（x₀，y₀）是C₂：x²=-4y上的点，
∴x2=-4(

1

2

x2-y)，
整理，得y=

3

4

x²．
∴线段AB的中点M的坐标满足曲线方程y=

3

4

x²．

点评：本题主要考查抛物线几何性质，直线与抛物线的位置关系、对称等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力．