Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是AA₁的中点，
（Ⅰ）求直线BC与A₁C所成的角的度数． 
（Ⅱ）求证：A₁C∥平面BDE．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（I）利用正方体的性质和直角三角形的边角关系即可得出；
（II）利用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理即可得出．

解答： （I）解：如图所示，不妨设正方体的棱长AB=1．连接BA₁．
由正方体可得：BC⊥BA₁．
∵A1B=

2

，∴tan∠A₁BC=

A1B

BC

=

2

．
∴∠BCA₁=arctan

2

．
（Ⅱ）证明：在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，连接AC交BD于点O，连接EO，
则O为AC的中点，又E是的AA₁的中点，
∴EO为△A₁AC为的中位线，
∴EO∥A₁C，
∵EO?平面BED，A₁C?平面BED，
∴A₁C∥平面BED．

点评：（I）利用正方体的性质和直角三角形的边角关系即可得出；
（II）利用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理即可得出．