Question

已知抛物线y²=2x，求斜率为k的直线截抛物线的弦的中点的轨迹方程．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设斜率为k的弦与抛物线交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），于是有k=

y2-y1

x2-x1

，且k≠0，y12=2x₁，①y22=2x₂，②设AB的中点M（x，y），②-①即可求得斜率为k的直线截抛物线的弦的中点的轨迹方程．

解答： 解：设斜率为k的弦与抛物线交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
则k=

y2-y1

x2-x1

，且k≠0，y12=2x₁，y22=2x₂，
∴y22-y12=2（x₂-x₁），即（y₂+y₁）（y₂-y₁）=2（x₂-x₁），
设AB的中点M（x，y），
则y₂+y₁=2y，
∴2y=

2

k

（k≠0），
整理得：y=

1

k

（k≠0）．
∴抛物线y²=2xy的一组斜率为k的平行弦的中点的轨迹方程是y=

1

k

（k≠0）．

点评：本题考查抛物线的简单性质，考查轨迹方程的求法，考查推理与运算能力，属于中档题．