Question

已知函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0，b，c∈R），F（x）=

f(x)，      x≥0 -f(-x)，   x＜0

，
（Ⅰ）若f（x）在x=-1处取得最小值为0，且f（0）=1，求F（-1）+F（2）的值；
（Ⅱ）若a=1，c=0，且|f（x）|≤1对x∈[0，1]恒成立，求b的取值范围；
（Ⅲ）若a=1，b=-2，c=0，且y=F（x）与y=-t的图象在闭区间[-1，t]上恰有一个公共点，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,分段函数的应用

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）根据f（x）在x=-1处取得最小值为0，且f（0）=1，求出a，b，c的值，即可求F（-1）+F（2）的值；
（Ⅱ）将不等式|f（x）|≤1对x∈[0，1]恒成立，转化为参数恒成立，即可求b的取值范围；
（Ⅲ）根据函数的图象在闭区间[-1，t]上恰有一个公共点，通过分类讨论即可求实数t的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）在x=-1处取得最小值为0，且f（0）=1，
故-

b

2a

=-1，c=1，
即

a-b+1=0 - b 2a =-1

，即a=1，b=2，
∴f（x）=x²+2x+1，
∴F（x）=

x2+2x+1，x≥0 -x2+2x-1，x＜0

，
∴F（-1）+F（2）=-4+9=5．
（Ⅱ）∵a=1，c=0，
∴f（x）=x²+bx，
∵|f（x）|≤1对x∈[0，1]恒成立，
∴-1≤x²+bx≤1恒成立，
当x=0时，f（0）=0，
∴b∈R；
当x∈[0，1]时，等价为

b≤ 1 x -x b≥-( 1 x +x)

恒成立，
∴b∈[-2，0]，
综上，b的取值范围为∈[-2，0]．
（Ⅲ）当a=1，b=-2，c=0时，F（x）=

x2-2x，x≥0 -x2-2x，x＜0

，
由题意知t＞-1．
①当-1＜t＜0时，即0＜-t＜1，要使函数y=F（x）与y=-t的图象在闭区间[-1，t]上恰有一个交点，则
需-t²-2t≤-t，
解得t≥0或t≤-1，这与-1＜t＜0矛盾，不满足题意；
②当0≤t≤1时，即-1≤-t≤0，要使函数y=F（x）与y=-t的图象在闭区间[-1，t]上恰有一个交点，则
需t²-2t≤-t，解得0≤t≤1；
③当t＞1时，-t＜-1，函数y=F（x）与y=-t的图象在闭区间[-1，t]上没有交点，不满足题意；
综上所述实数t的取值范围为：[0，1]．

点评：本题主要考查二次函数的图象和性质，以及不等式恒成立问题，运算量较大，综合性较强，难度较大．