Question

对于每个非零自然数n，抛物线y=x²-

2n+1

n(n+1)

x+

1

n(n+1)

与x轴交于A_n、B_n两点，以A_nB_n表示这两点间的距离，则A₁B₁+A₂B₂+…+A₂₀₁₄B₂₀₁₄的值是

 

．（不作近似计算）

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设A_n、B_n两点的横坐标分别为p，q，利用韦达定理，可求得A_nB_n=

1

n

-

1

n+1

，从而可求得所求关系式的答案．

解答： 解：设A_n、B_n两点的横坐标分别为p，q，
则p，q为方程x²-

2n+1

n(n+1)

x+

1

n(n+1)

=0的两根，
由韦达定理知，p+q=

2n+1

n(n+1)

，pq=

1

n(n+1)

，
∴A_nB_n=

(p-q)2

=

(p+q)2-4pq

=

[ 2n+1 n(n+1) ]2- 4 n(n+1)

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴A₁B₁+A₂B₂+…+A₂₀₁₄B₂₀₁₄
=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

2014

-

1

2015

）
=1-

1

2015

=

2014

2015

．
故答案为：

2014

2015

点评：本题考查抛物线的简单性质，着重考查韦达定理的应用，求得A_nB_n=

1

n

-

1

n+1

是关键，考查裂项法求和，属于中档题．