Question

已知直线l经过点（

1

2

，2），其横截距与纵截距分别为a、b（a、b均为正数），则使a+b≥c恒成立的c的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：综合题

分析：由已知设出直线l的截距式方程，代入已知点的坐标得到

1

2a

+

2

b

=1，然后灵活运用“1”的代换借助于基本不等式求a+b的最小值，则使a+b≥c恒成立的c的取值范围为可求．

解答： 解：∵直线l的横截距与纵截距分别为a、b（a、b均为正数），且直线l经过点（

1

2

，2），
∴可设直线l的方程为

x

a

+

y

b

=1，则

1

2a

+

2

b

=1．
∵a+b=(a+b)•(

1

2a

+

2

b

)=

1

2

+2+

b

2a

+

2a

b

≥

5

2

+2

b 2a • 2a b

=

9

2

．
则使a+b≥c恒成立的c的取值范围为(-∞，

9

2

]．
故答案为：(-∞，

9

2

]．

点评：本题考查恒成立问题，考查了直线的截距式方程，训练了利用基本不等式求最值，解答此题的关键是对“1”的灵活运用，是中档题．