Question

已知数列{a_n}满足a_n+1=

an+1，n为奇数 -2an，n为偶数

，且a₁=1，设b_n=a_2n+2-a_2n，则数列{b_n}的通项公式为

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：由{a_n}的递推关系，算出a_2n+2=-2a_2n+1，从而得到b_n=-3a_2n+1，进而有b_n+1=6a_2n-2=-2b_n，所以{b_n}构成首项是-5，公比为-2的等比数列，根据等比数列通项公式可算出数列{b_n}的通项公式．

解答： 解：根据题意，得a_2n+2=a_2n+1+1=-2a_2n+1，
∴b_n=a_2n+2-a_2n=-3a_2n+1，
从而b_n+1=-3a_2n+2+1=-3（-2a_2n+1）+1=6a_2n-2，
∴b_n+1=-2b_n，
a₂=a₁₊₁=a₁+1=2，a₄=-2a₂+1=-3
∴可得{b_n}构成首项b₁=a₄-a₂=-5，公比为-2的等比数列，
因此，数列{b_n}的通项公式为b_n=-5（-2）^n-1．
故答案为：b_n=-5（-2）^n-1．

点评：本题给出数列{a_n}递推式，求数列b_n=a_2n+2-a_2n的通项公式，着重考查了数列递推关系和等比数列的通项公式等知识，属于中档题．