Question

已知函数f（x）=ax²+ax+1，若f（x）＞0恒成立，则实数a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：给出的函数是二次函数，二次项系数含有字母，分二次项系数为0和不为讨论，当二次项系数不等于0时，只要对应的图象开口向上，且判别式小于0即可，由此联立不等式组求解a的取值范围．

解答： 解：当a=0时，f（x）=ax²+ax+1=1＞0恒成立；
当a≠0时，要使f（x）＞0恒成立，即ax²+ax+1＞0恒成立，
则

a＞0 △=a2-4a＜0

，解得0＜a＜4．
综上，使f（x）＞0恒成立的实数a的取值范围为[0，4）．
故答案为：[0，4）．

点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了“三个二次”之间的关系，是中档题．