Question

设f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，f（-1）=-1，且对任意a，b∈[-1，1]，当a≠b时，都有

f(a)-f(b)

a-b

＞0；
（1）解不等式f（x-

1

2

）＜f(2x-

1

4

)）；
（2）设p={x|y=f（x-c）}，Q={x|y=f（x-c²）}且P∩Q=∅，求c的取值范围．
（3）若f（x）≤m²-2km+1对所有x∈[-1，1]，k∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,交集及其运算,函数单调性的判断与证明,函数单调性的性质

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）由于定义在[-1，1]上的奇函数f（x）是增函数，依题意，解不等式组

-1≤x- 1 2 ≤1 -1≤2x- 1 4 ≤1 x- 1 2 ＜2x- 1 4

即可求得答案；
（2）依题意，可知p={x|c-1≤x≤c+1}，q={x|c²-1≤x≤c²+1}，利用P∩Q=∅，解不等式c+1＜c²-1①，或c²+1＜c-1②即可；
（3）易求f（x）_max=1，f（x）≤m²-2km+1对所有x∈[-1，1]，k∈[-1，1]恒成立?m²-2km≥0对于所有的k∈[-1，1]恒成立，令g（k）=-2mk+m²，则

g(-1)≥0 g(1)≥0

，
解之即可．

解答： 解．（1）∵定义在[-1，1]上的奇函数f（x）是增函数，
∴

-1≤x- 1 2 ≤1 -1≤2x- 1 4 ≤1 x- 1 2 ＜2x- 1 4

，解得：-

1

4

＜x≤

5

8

；
（2）∵p={x|y=f（x-c）}，
∴-1≤x-c≤1，即c-1≤x≤c+1，
∴p={x|c-1≤x≤c+1}；
又Q={x|y=f（x-c²）}，
同理可得，q={x|c²-1≤x≤c²+1}；
∵P∩Q=∅，
∴c+1＜c²-1①，或c²+1＜c-1②，
解①得：c＞2或c＜-1；
解②得：x∈∅；
综上所述，c＞2或c＜-1；
（3）∵f（x）在[-1，1]上单调递增，f（-1）=-1，
∴f（x）_max=f（1）=-f（-1）=1，
f（x）≤m²-2km+1对所有x∈[-1，1]，k∈[-1，1]恒成立
?1≤m²-2km+1对于所有的k∈[-1，1]恒成立
?m²-2km≥0对于所有的k∈[-1，1]恒成立，
令g（k）=-2mk+m²，
则

g(-1)≥0 g(1)≥0

，即

m2+2m≥0 m2-2m≥0

，解得：m≤-2 或m=0或m≥2．
∴实数m的取值集合为{m|m≤-2 或m=0或m≥2}．

点评：本题考查函数恒成立问题，着重考查集合的交集及其运算，考查等价转化思想与分类讨论思想、构造函数思想与方程思想的综合运用，属于难题．