Question

已知函数y=f（x），若存在x₀，使得f（x₀）=x₀，则称x₀是函数y=f（x）的一个不动点，设二次函数f（x）=ax²+（b+1）x+b-2．
（1）当a=2，b=1时，求函数f（x）的不动点；
（2）若对于任意实数b，函数f（x）恒有两具不同的不动点，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）当a=2，b=1时，解方程f（x₀）=x₀，即可求函数f（x）的不动点；
（2）根据函数f（x）恒有两具不同的不动点，转化为二次函数和判别式之间的关系，即可求实数a的取值范围．

解答： 解：（1）当a=2，b=1时，f（x）=2x²+2x-1，
设x为其不动点，
即2x²+2x-1=x，
则2x²+x-1=0，
解得x1=-1，x2=

1

2

，
即f（x）的不动点为-1，

1

2

．
（2）由f（x）=x得a x²+bx+b-2=0，
关于x的方程有相异实根，则 b²-4a（b-2）＞0，
即 b²-4ab+8a＞0，
又对所有的b∈R，b²-4ab+8a＞0恒成立 
故有（4a）²-4•8a＜0，
得0＜a＜2

点评：本题主要考查二次函数的图象和性质，正确理解不动点的定义是解决本题的关键．