Question

已知曲线C的极坐标方程为：ρ²-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0，曲线C上的任意一个点P的直角坐标为（x，y），则3x+4y的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ²=x²+y²可把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，得到圆心与半径r，令3x+4y=t，由于点P（x，y）是曲线C上的任意一个点，可得圆心C（1，2）到直线的距离d≤r．利用点到直线的距离公式即可得出．

解答： 解：由曲线C的极坐标方程：ρ²-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0，化为直角坐标方程：x²+y²-2x-4y+4=0，
化为（x-1）²+（y-2）²=1．可得圆心C（1，2），半径r=1．
令3x+4y=t，
∵点P（x，y）是曲线C上的任意一个点，∴圆心C（1，2）到直线的距离d≤r．
∴

|3+4×2-t|

32+42

≤1，化为|t-11|≤5，解得6≤t≤16．
∴3x+4y的取值范围为[6，16]．
故答案为：[6，16]．

点评：本题考查了曲线的极坐标方程化为直角坐标方程的公式、点到直线的距离公式，属于基础题．