Question

已知正项数列{a_n}，其前n项和S_n满足4S_n=a_n²+2a_n-8，数列{b_n}是等差数列，b₁=

3

-5，b₂=

3

-11．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=

Sn

n

+bn，数列{c_n}中是否存在不同的三项构成等比数列？若存在，请指出符合条件的项满足的条件：若不存在．请说明理由．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）利用4S_n=a_n²+2a_n-8，再写一式，两式相减，结合数列{a_n}是正项数列，可求数列{a_n}的通项公式，利用数列{b_n}是等差数列，b₁=

3

-5，b₂=

3

-11，求出公差，即可求数列{b_n}的通项公式；
（2）求出数列{c_n}的通项，假设数列{c_n}中存在不同的三项构成等比数列，利用等比数列的性质，建立等式，即可得出结论．

解答： 解：（1）∵4S_n=a_n²+2a_n-8，
∴n≥2时，4S_n-1=a_n-1²+2a_n-1-8，
两式相减可得4a_n=a_n²-a_n-1²+2a_n-2a_n-1，
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵数列{a_n}是正项数列，
∴a_n-a_n-1=2，
∵n=1时，4S₁=a₁²+2a₁-8，
∴a₁=4，
∴a_n=4+2（n-1）=2n+2，
∵数列{b_n}是等差数列，b₁=

3

-5，b₂=

3

-11，
∴d=-6，
∴b_n=（

3

-5）-6（n-1）=-6n+

3

+1；
（2）4S_n=a_n²+2a_n-8=（2n+2）²+2（2n+2）-8=4n²+12n，
∴S_n=n²+3n，
∴c_n=

Sn

n

+bn=n+3-6n+

3

+1=-5n+

3

+4，
设数列{c_n}中存在不同的三项构成等比数列，则
（-5n+

3

+4）²=（-5m+

3

+4）（-5p+

3

+4），
∴25n²-25mp=10（

3

+4）（n-m-p），
∵等式左边是有理数，
∴

n2=mp n=m+p

，
∴（m+p）²=mp，
∴m²+mp+p²=0，
∵方程无解，
∴数列{c_n}中不存在不同的三项构成等比数列．

点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查等比数列的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．