Question

已知函数f（x）=xln x．若对所有x≥1都有f（x）≥ax-1，则实数a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：依题意，当x≥1时，f（x）≥ax-1恒成立?a≤lnx+

1

x

（x≥1）恒成立，令f（x）=lnx+

1

x

，则a≤f（x）_min（x≥1），易求f（x）_min=1，从而得到实数a的取值范围．

解答： 解：∵f（x）=xlnx，
当x≥1时，f（x）≥ax-1恒成立?xlnx≥ax-1（x≥1）恒成立?a≤lnx+

1

x

（x≥1）恒成立，
令f（x）=lnx+

1

x

，则a≤f（x）_min（x≥1）恒成立；
∵f′（x）=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

，
∴当x≥1时，f′（x）≥0，
∴f（x）=lnx+

1

x

在[1，+∞）上单调递增，
∴f（x）_min=1，
∴a≤1，即实数a的取值范围为（-∞，1]．
故答案为：（-∞，1]．

点评：本题考查函数恒成立问题，分离参数a是关键，考查等价转化思想与构造函数思想，考查导数法判定函数单调性的应用及运算求解能力，属于中档题．