Question

对于R上可导的任意函数f（x），若满足

2-x

f′(x)

≤0，则必有（　　）

• A、f（1）+f（3）＜2f（2）
• B、f（1）+f（3）≤2f（2）
• C、f（1）+f（3）＞2f（2）
• D、f（1）+f（3）≥2f（2）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,导数的运算

专题：导数的概念及应用

分析：由条件分别讨论x＞2，x＜2时，f'（x）的符号，从而判断f（x）的单调性，求出极值，最值，进而判断f（1）+f（3）与2f（2）的关系．

解答： 解：∵

2-x

f′(x)

≤0，
∴当x＜2时，即2-x＞0，f'（x）＜0，则函数f（x）在（-∞，2）上单调递减，
   当x＞2，即2-x＜0时，f'（x）＞0，则函数f（x）在（2，+∞）上单调递增，
  所以函数f（x）在x=2处取极小值，又x∈R，则f（2）也是最小值，
  所以f（1）＞f（2），且f（3）＞f（2），两式相加得：f（1）+f（3）＞2f（2）．
  故选：C

点评：本题主要考查运用导数研究函数的单调性，如何求极值、最值，注意开区间内极值只有一个，此时也是最值，本题是一道基础题．