Question

若方程x²+x+a=0至少有一根为非负实数，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系

专题：综合题,不等式的解法及应用

分析：根据方程x²+x+a=0有实数根，可得△=1²-4×1×a=1-4a≥0，利用韦达定理，分类讨论，一个实数根为0，另一个实数根为-1；一个实数根为负实数，另一个实数根为正实数，即可得出结论．

解答： 解：依题知，方程x²+x+a=0有实数根，则有：△=1²-4×1×a=1-4a≥0
∴a≤

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设方程x²+x+a=0的两个实数根为x₁和x₂，根据韦达定理有：
x₁+x₂=-1 …（1）
x₁x₂=a …（2）
能使（1）成立的两个实数根，必须满足以下两种情况：
①一个实数根为0，另一个实数根为-1（如x₁=0，x₂=-1），此时由（2）式知：a=x₁x₂=0
②一个实数根为负实数，另一个实数根为正实数．
设x₁=k（k＞0），则x₂=-（k+1），x₁x₂=-（k²+k）＜0，
此时由（2）式知：a=x₁x₂＜0
综合以上所有结论知，实数a的取值范围为：a≤0．

点评：本题考查一元二次方程的根的分布，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．