Question

已知函数f（x）=|x+3|-m，m∈R，且f（x-2）≤0的解集为[-3，1]．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）已知a，b，c都是正数，且a+b+c=m，求证：

1

a+b

+

1

b+c

+

1

c+a

≥

9

4

．

Answer 1

考点：不等式的证明,绝对值不等式的解法

专题：证明题,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）先将不等式化简，再利用绝对值不等式的性质，即可求m的值；
（Ⅱ）证明一：

1

a+b

+

1

b+c

+

1

c+a

=

1

2

(a+b+c)(

1

a+b

+

1

b+c

+

1

c+a

)，然后使用基本不等式，即可得出结论；证明二：

1

a+b

+

1

b+c

+

1

c+a

=

1

4

[(a+b)+(b+c)+(c+a)]•(

1

a+b

+

1

b+c

+

1

c+a

)，然后使用基本不等式，即可得出结论．

解答： （Ⅰ）解：f（x-2）=|x-2+3|-m≤0，|x+1|≤m，
所以m≥0，且-m≤x+1≤m，…（1分）
所以-1-m≤x≤-1+m，又不等式的解集为[-3，1]，故m=2；…（3分）
（Ⅱ）证明一：

1

a+b

+

1

b+c

+

1

c+a

=

1

2

(a+b+c)(

1

a+b

+

1

b+c

+

1

c+a

)
=

1

4

[(a+b)+(b+c)+(c+a)](

1

a+b

+

1

b+c

+

1

c+a

)…（4分）≥

1

4

[

a+b

•

1

a+b

+

b+c

•

1

b+c

+

c+a

•

1

c+a

]2=

9

4

，当且仅当a=b=c=

2

3

时，等号成立．…（6分）
证明二：

1

a+b

+

1

b+c

+

1

c+a

=

1

4

[(a+b)+(b+c)+(c+a)]•(

1

a+b

+

1

b+c

+

1

c+a

)…（4分）≥

1

4

•3•

3	(a+b)•(b+c)•(c+a)

•3•

3	1 (a+b)•(b+c)•(c+a)

=

9

4

，当且仅当a=b=c=

2

3

时，等号成立．…（6分）

点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．