Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=-

1

2

a_n-

1

2

（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b_n=

n

an+1

，证明：对于一切正整数n，不等式b₁×b₂×b₃×…×b_n＜2×n!恒成立．

Answer 1

考点：数学归纳法,数列的求和

专题：证明题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）由S_n=-

1

2

a_n-

1

2

①，知S_n-1=-

1

2

a_n-1-

1

2

（n≥2）②，两式相减后整理后，易证数列{a_n}为以a₁=-

1

3

为首项，

1

3

为公比的等比数列，从而可求数列{a_n}的通项公式；
（2）由b_n=

n

an+1

=

n

1- 1 3n

（n∈N^*），可知b₁×b₂×b₃×…×b_n=

n!

(1- 1 3 )(1- 1 32 )(1- 1 33 )×…×(1- 1 3n )

，要证b₁×b₂×b₃×…×b_n＜2×n!，只要证（1-

1

3

）（1-

1

32

）…（1-

1

3n

）＞

1

2

，利用数学归纳法证明即可．

解答： 解：（1）由S_n=-

1

2

a_n-

1

2

①，
得S_n-1=-

1

2

a_n-1-

1

2

（n≥2）②，
由①-②，得a_n=-

1

2

a_n+

1

2

a_n-1，即3a_n=a_n-1（n≥2）．
由S₁=-

1

2

a₁-

1

2

，得a₁=-

1

3

，
∴数列{a_n}为以a₁=-

1

3

为首项，

1

3

为公比的等比数列，
即a_n=-

1

3

•(

1

3

)n-1=-(

1

3

)n（n∈N^*）．
（2）证明：由
b_n=

n

an+1

=

n

1- 1 3n

（n∈N^*），
得：b₁×b₂×b₃×…×b_n=

1×2×3×…×n

(1- 1 3 )(1- 1 32 )(1- 1 33 )×…×(1- 1 3n )

=

n!

(1- 1 3 )(1- 1 32 )(1- 1 33 )×…×(1- 1 3n )

．
因此，要证b₁×b₂×b₃×…×b_n＜2×n!，
只要证（1-

1

3

）（1-

1

32

）…（1-

1

3n

）＞

1

2

．
下面用数学归纳法先证明（1-

1

3

）（1-

1

32

）…（1-

1

3n

）≥1-（

1

3

+

1

32

+…+

1

3n

）（n∈N^*）．
①当n=1，不等式左边=

2

3

，右边=

2

3

，
∴不等式成立；           
②设n=k（k≥1，k∈N^*）时，不等式成立，
即（1-

1

3

）（1-

1

32

）…（1-

1

3k

）≥1-（

1

3

+

1

32

+…+

1

3k

）（k∈N^*），
则当n=k+1时，
左边=（1-

1

3

）（1-

1

32

）…（1-

1

3k

）（1-

1

3k+1

）≥[1-（

1

3

+

1

32

+…+

1

3k

）]（1-

1

3k+1

），
而[1-（

1

3

+

1

32

+…+

1

3k

）]•（1-

1

3k+1

）=1-

1

3k+1

-（

1

3

+

1

32

+…+

1

3k

）+

1

3k+1

（

1

3

+

1

32

+…+

1

3k

）≥1-（

1

3

+

1

32

+…+

1

3k

+

1

3k+1

），
即n=k+1时，不等式也成立．
综合①②，（1-

1

3

）（1-

1

32

）…（1-

1

3n

）≥1-（

1

3

+

1

32

+…+

1

3n

）（n∈N^*）．成立．
又1-（

1

3

+

1

32

+…+

1

3n

）=1-

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

=

1

2

+

1

2×3n

＞

1

2

，
∴（1-

1

3

）（1-

1

32

）…（1-

1

3n

）＞

1

2

．成立．
从而b₁×b₂×b₃×…×b_n＜2×n!成立．

点评：本题考查递推数列，考查数列等比关系的确定，着重考查数学归纳法的应用，考查分析法，推理与证明的能力，属于难题．