Question

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数且f（1）=1，若a，b∈[-1，1]，a+b≠0，有

f(a)+f(b)

a+b

＞0．
（1）判断函数f（x）在[-1，1]上是增函数还是减函数，并用定义证明你的结论．
（2）解不等式f(x+

1

2

)＞f(2x-

1

2

)
（3）若f（x）≤m²-2am+1对所有x∈[-1，1]、a∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数单调性的定义进行判断和证明．
（2）根据函数的单调性将不等式f(x+

1

2

)＞f(2x-

1

2

)进行转化即可得不等式的解集．
（3）将不等式恒成立转化求函数的最值，即可得到结论．

解答： 解：（1）函数f（x）在区间[-1，1]上是增函数．
下用定义证明：
设-1≤x₁＜x₂≤1，
则：f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=

f(x1)+f(-x2)

x1-x2

(x1-x2)＜0，
可知f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在[-1，1]上是增函数．
（2）由f（x）在[-1，1]上是增函数知：
不等式f(x+

1

2

)＞f(2x-

1

2

)等价为：

-1≤x+ 1 2 ≤1 -1≤2x- 1 2 ≤1 x+ 1 2 ＞2x- 1 2

解得-

1

4

≤x≤

1

2

，
故不等式的解集[-

1

4

，

1

2

]．
（3）∵f（x）在[-1，1]上是增函数，
∴f（x）≤f（1）=1，
即f（x）_max=1
依题意有m²-2am+1≥1，对a∈[-1，1]恒成立，
即m²-2am≥0恒成立．
令g（a）=-2ma+m²，它的图象是一条线段，
则

g(-1)=m2+2m≥0 g(1)=m2-2m≥0

，
即

m≥0或m≤-2 m≥2或m≤0

∴m∈（-∞，-2]∪{0}∪[2，+∞）．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，将不等式转化为函数问题是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．