Question

设函数f（x）=2|x-2|-x+5的最小值为m．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）解不等式|x|+|x+2|＞m．

Answer 1

考点：绝对值不等式

专题：综合题,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）确定函数f（x）在区间（-∞，2）上单调递减，在区间[2，+∞）上单调递增，可得函数f（x）=2|x-2|-x+5的最小值，利用函数f（x）=2|x-2|-x+5的最小值为m，即可求m的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知m=3，|x|+|x+2|≥3，分类讨论，去掉绝对值符号，即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=2|x-2|-x+5=

x+1，(x≥2) -3x+9，(x＜2)

显然，函数f（x）在区间（-∞，2）上单调递减，在区间[2，+∞）上单调递增，
所以函数f（x）的最小值m=f（2）=3．…（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知m=3，|x|+|x+2|≥3，
当x≥0时，不等式可化为：2x+2＞3，解得x＞

1

2

；
当-2＜x＜0时，不等式可化为：-x+x+2＞3，无解；
当x≤-2时，不等式可化为：-2x-2＞3，解得x＜-

5

2

；
故不等式的解集为{x|x＜-

5

2

或x＞

1

2

}．…（7分）

点评：本题考查绝对值不等式，考查分类讨论的数学思想，考查学生的实践能力，正确分类是关键．