Question

将半径为72cm的扇形OAB剪去小扇形OCD，余下扇环ABCD的面积为648πcm²．将这个扇环围成一个圆台，若圆台的下底与上底半径之差是6cm．求圆台的高．

Answer 1

考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：设扇形的圆心角是α弧度，扇形OCD的半径为R₁，圆台上底面半径为r₁，下底面半径为r₂，高为h．根据弧长公式和扇形面积公式得到关于α和R₁的方程组，解之可得α=

π

3

且R₁=36cm，由此算出r₁、r₂，从而可求圆台的高h．

解答： 解：根据题意，设扇形的圆心角是α弧度，扇形OCD的半径为R₁，
扇形OAB的半径为R₂=72，圆台上底面半径为r₁，下底面半径为r₂，圆台高为h，
∵扇形OAB的面积S₂=

1

2

αR₂²=

1

2

α•72²，扇形OCD的面积S₁=

1

2

αR₁²
∴S₂-S₁=

1

2

α（72²-R₁²）=648πcm²，可得

1

2

α（72+R₁）（72-R₁）=648πcm²，①，
∵弧AB=αR₂=72α=2π•r₂，弧CD=αR₁=2πr₁，r₂-r₁=6
∴r₂=

36α

π

，r₁=

R1α

2π

，可得

72α-R1α

2π

=6，整理得

1

2

α（72-R₁）=6π，②，
将（2）代入（1），得6π•（72+R₁）=648πcm²，解得R₁=36cm
代入（2），得α=

π

3

，
从而得到r₁=6，r₂=12，圆台母线长为R₂-R₁=72-36=36
∴圆台高h=

362-(12-6)2

=6

35

点评：本题给出圆侧面展开的扇环的数据，着重考查了弧长公式、扇形面积公式和圆台的侧面积等知识．