Question

以下四个关于圆锥曲线的命题中：
①设A、B为两个定点，k为非零常数，|

PA

|-|

PB

|=k，则动点P的轨迹为双曲线；
②过定圆C上动点A作水平直径所在直线的垂线AB，垂足为点B，若

AM

=

1

2

AB

，则点M的轨迹为椭圆；
③方程2x²-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④双曲线

x2

25

-

y2

9

=1与椭圆

x2

35

+y²=1有相同的焦点．
其中真命题的序号为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质,命题的真假判断与应用

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,简易逻辑

分析：根据双曲线的定义是到两定点的距离之差的绝对值为常数（小于两定点之间距离）的点的轨迹．焦点在x轴的椭圆、双曲线的标准方程分别是

x2

a2

+

y2

b2

=1，

x2

a2

-

y2

b2

=1，半焦距C，分别是c²=a²+b²，c²=a²-b²，离心率e 范围分别是0＜e＜1，e＞1．

解答： 解：根据双曲线的定义，有绝对值，且k的范围是k＜|AB|，∴①不正确；
∵过定圆C上动点A作水平直径所在直线的垂线AB，垂足为点B，若

AM

=

1

2

AB

，∴M为弦AB的中点，不妨设定圆为x²+y²=R²，设M（x，y），则动点A（x，2y），动点A代入圆的方程，则x²+4y²=R²
得M的轨迹方程为：

x2

R2

+

y2

R2 4

=1，轨迹方程是椭圆，∴②正确；
∵2x²-5x+2=0的两根是2，

1

2

，椭圆的离心率范围是（0，1），双曲线的离心率范围是（1，+∞）∴③正确．
∵④中双曲线的焦点是（±4，0），椭圆的焦点（±4，0），∴④正确．
故答案为：②③④．

点评：本题考查了抛物线及双曲线的定义，考查了命题的真假的判断，要说明一个命题为真，需要严格的证明，要说明命题是假命题，只要举一个反例即可，此题属中档题．