Question

已知点M到点F（1，0）和直线x=-1的距离相等，记点M的轨迹为C．
（1）求轨迹C的方程；
（2）过点F作相互垂直的两条直线l₁、l₂，曲线C与l1交于点P₁、P₂，与l₂交于点Q₁、Q₂，试证明：

1

|P1P2|

+

1

|Q1Q2|

=

1

4

．

Answer 1

考点：抛物线的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用点M到点F（1，0）和直线x=-1的距离相等，由抛物线的定义可知：点M的轨迹是抛物线，即可得出结论；
（2）设l₁的方程为y=k（x-1），代入抛物线方程，利用弦长公式求出|P₁P₂|，以-

1

k

代入，可得|Q₁Q₂|，代入可得结论．

解答： （1）解：∵点M到点F（1，0）和直线x=-1的距离相等，
由抛物线的定义可知：点M的轨迹是抛物线，
设方程为y²=2px（p＞0），∵

p

2

=1，∴p=2．
∴轨迹C的方程为y²=4x．
（2）证明：设l₁的方程为y=k（x-1），代入抛物线方程，整理可得k²x-（2k²+4）x+k²=0，
设P₁、P₂的横坐标分别为x₁、x₂，则x₁+x₂=

2k2+4

k2

，
∴|P₁P₂|=x₁+x₂+p=

4k2+4

k2

，
以-

1

k

代入，可得|Q₁Q₂|=4+4k²，
∴

1

|P1P2|

+

1

|Q1Q2|

=

1

4

．

点评：本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．