Question

下列命题正确的是

 

①动点M至两定点A、B的距离之比为常数λ（λ＞0且λ≠1）．则动点M的轨迹是圆．
②椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率e=

2

2

，则b=c(c为半焦距）．
③双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的焦点到渐近线的距离为b．
④知抛物线y²=2px上两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）且OA⊥OB（O为原点），则y₁y₂=-p²．
A．②③④B．①④C．①②③D．①③

Answer 1

考点：双曲线的简单性质,命题的真假判断与应用

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,简易逻辑

分析：①设动点M（x，y），两定点A（-c，0），B（c，0），（λ＞0且λ≠1，c＞0），则

|MA|

|MB|

=

(x+c)2+y2

(x-c)2+y2

=λ，化简即可得出；
②利用椭圆的离心率e=

2

2

=

c

a

，及a²=b²+c²，即可解出．
③取焦点F₂（c，0），渐近线y=

b

a

x，利用点到直线的距离公式可得焦点到渐近线的距离．
④设直线AB的方程：x=my+n，与抛物线的方程联立可得y²-2pmy-2pn=0，得到根与系数的关系，再利用OA⊥OB?x₁x₂+y₁y₂=0，化简即可得出．

解答： 解：①设动点M（x，y），两定点A（-c，0），B（c，0），（λ＞0且λ≠1，c＞0）．
则

|MA|

|MB|

=

(x+c)2+y2

(x-c)2+y2

=λ，化为[x-

(λ2+1)c

λ2-1

]2+y2=(

2λc

λ2-1

)2，因此点M的轨迹是以(

λ2+1

λ2-1

c，0)为圆心，

2λc

|λ2-1|

为半径的圆．
②∵椭圆的离心率e=

2

2

=

c

a

，∴a²=2c²，又a²=b²+c²，∴b²=c²，解得b=c．
③取焦点F₂（c，0），渐近线y=

b

a

x，则焦点到渐近线的距离=

|bc|

b2+a2

=

bc

c

=b，正确．
④设直线AB的方程：x=my+n，联立

x=my+n y2=2px

，化为y²-2pmy-2pn=0，
∴y₁y₂=-2pn，y₁+y₂=2pm．
∵OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∵x₁x₂=（my₁+n）（my₂+n）=m2y1y2+mn(y1+y2)+n2，
∴(m2+1)y1y2+mn(y1+y2)+n2=0，
∴-2pn（m²+1）+2pm²n+n²=0，
化为n=2p．
∴y1y2=-2p•2p=-4p2．因此不正确．
综上：只有①②③正确．
故选：C．

点评：本题考查了圆锥曲线的定义及其性质，属于中档题．