Question

（Ⅰ）求函数f（x）=sin（2x+

π

6

）的导函数f′（x），并求f′（0）的值．
（Ⅱ）已知a，b是不相等的正数，且a＞0，b＞0，求证：

a3+b3

＞

a2b+ab2

．

Answer 1

考点：不等式的证明,导数的运算

专题：证明题,分析法,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）求导函数，代入计算，可求f′（0）的值．
（Ⅱ）利用分析法证明，要证：

a3+b3

＞

a2b+ab2

，即证：（a-b）²（a+b）＞0，根据a，b是不相等的正数，且a＞0，b＞0，即可得证．

解答： （I）解：∵f（x）=sin（2x+

π

6

），
∴f′（x）=2cos（2x+

π

6

），
∴f′（0）=

3

…（4分）
（II）证明：要证：

a3+b3

＞

a2b+ab2

，
由a＞0，b＞0，即证：a³+b³＞a²b+ab²，
即证：a³+b³-a²b-ab²＞0，
即证：（a-b）²（a+b）＞0（6分）
∵a，b是不相等的正数，且a＞0，b＞0，
∴原不等式成立…（8分）

点评：本题考查不等式的证明，考查分析法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．