Question

已知函数f（x）=|lnx|-1．
（1）当x＞0时，解不等式x（x+

1

2

）≤

1

e2

．
（2）当x∈[t，t+

1

2

]（0＜t＜

1

e

），求函数g（x）=|f（x）|的最大值；
（3）当x＞e时，有f（x）＜x²-（k+2e）x+e²+ke恒成立，求实数k的取值范围．（注：e为自然对数的底数）．

Answer 1

考点：绝对值不等式,函数单调性的性质,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）当x＞0时，不等式等价于 x²+

1

2

x-

1

e2

≤0，再根据 x＞0，可得不等式的解集．
（2）当x∈[t，t+

1

2

]（0＜t＜

1

e

），画出函数g（x）=|f（x）|的图象，数形结合可得g（x）的最值．
（3）当x＞e时，由题意可得 x²-（k+2e）x+e²+ke-lnx+1＞0恒成立，即k＜

(x-e)2+1-lnx

x-e

=
（x-e）-

lnx-1

x-e

恒成立．令h（x）=（x-e）-

lnx-1

x-e

，利用单调性求得 h（x）＞-

1

e

，可得k的范围．

解答： 解：（1）当x＞0时，不等式x（x+

1

2

）≤

1

e2

，
等价于 x²+

1

2

x-

1

e2

≤0，
解得-

1

4

-

1 16 + 1 e2

≤x≤-

1

4

+

1 16 + 1 e2

．
再根据 x＞0，可得不等式的解集为
{x|0＜x≤-

1

4

+

1 16 + 1 e2

}．
（2）当x∈[t，t+

1

2

]（0＜t＜

1

e

），
画出函数g（x）=|f（x）|的图象，
如图所示：显然函数g（x）在[t，

1

e

]上是减函数，
在[

1

e

，t+

1

2

]上是增函数，
函数g（x）=|f（x）|在区间[t，t+

1

2

]的最大值
为 max{g（t），g（t+

1

2

）}．
（3）当x＞e时，函数f（x）=lnx-1，由题意可得 x²-（k+2e）x+e²+ke-lnx+1＞0恒成立．
即k＜

(x-e)2+1-lnx

x-e

=（x-e）-

lnx-1

x-e

 恒成立．
令h（x）=（x-e）-

lnx-1

x-e

，由于函数h（x）是（e，+∞）上的增函数，
且

lim

x→e

lnx-1

x-e

=

lim

x→e

1 x

1

=

1

e

，∴h（x）＞h（e）=0-

1

e

，∴k≤-

1

e

，即k的范围为（-∞，-

1

e

]．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，求函数的单调区间，函数的恒成立问题，属于中档题．