Question

定义：满足方程f（x）=x的实数x称为函数f（x）的“不动点”．已知二次函数f（x）=ax²+bx（a≠0），满足f（x+1）为偶函数，且函数f（x）有且仅有一个不动点．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）=f（x）+kx²在（0，4）上是增函数，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数解析式的求解及常用方法

专题：新定义,函数的性质及应用

分析：（1）由题意可得，二次函数f（x）=ax²+bx（a≠0）的对称轴为x=-

b

2a

=1，故有b=-2a，再根据函数
f（x）有且仅有一个不动点，可得ax² -2ax=x 只有一个解，由判别式等于零求得a、b的值，可得函数的解析式．
（2）由于函数g（x）=f（x）+kx²=（k-

1

2

）x²+x 的对称轴为x=

1

1-2k

，且函数g（x）在（0，4）上是增函数，分①当k=

1

2

时、②当k＞

1

2

时、③当k＜

1

2

时三种情况，利用二次函数的性质，分别求得k的范围，再取并集，即得所求．

解答： 解：（1）由题意可得，二次函数f（x）=ax²+bx（a≠0）的对称轴为x=-

b

2a

=1，∴b=-2a，
f（x）=ax² -2ax．
再根据函数f（x）有且仅有一个不动点，可得ax² -2ax=x 只有一个解，
故△=（2a+1）²-0=0，∴a=-

1

2

．
（2）由于函数g（x）=f（x）+kx²=（k-

1

2

）x²+x，
①当k=

1

2

时，满足g（x）=x在（0，4）上是增函数．
②当k＞

1

2

时，g（x）的对称轴为x=

1

1-2k

，根据函数g（x）在（0，4）上是增函数，
可得

k＞0 1 1-2k ≤0

，解得k＞

1

2

．
③当k＜

1

2

时，根据函数g（x）在（0，4）上是增函数，可得

1

1-2k

≥4，
解得

3

8

≤k＜

1

2

．
综上可得，k的范围为[

3

8

，+∞）．

点评：本题主要考查二次函数的性质应用，新定义，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．