Question

围建一个面积为360m²的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：米）．
（1）将修建围墙的总费用y表示成x的函数；
（2）写出函数f（x）=y的单调区间，并证明．

Answer 1

考点：基本不等式,函数的零点

专题：函数的性质及应用

分析：（1）设矩形的另一边长为am，则根据围建的矩形场地的面积为360m²，易得 a=

360

x

，此时再根据旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，我们即可得到修建围墙的总费用y表示成x的函数的解析式；
（2）根据函数的表达式，即可研究函数的单调性．

解答： 解：（2）设矩形的另一边长为am，
则y=45x+180（x-2）+180•2a=225x+360a-360．
由已知ax=360，得a=

360

x

，
∴y=f（x）=225x+

3602

x

-360，（x＞2）．
（2）∵y=f（x）=225x+

3602

x

-360，（x＞2）．
∴f'（x）=225-

3602

x2

=

225x2-3602

x2

，
则由f’（x）＞0得x＞24，此时函数单调递增，
由f’（x）＜0得2＜x＜24，此时函数单调递减，
故函数的单调递增区间为（24，+∞），
递减区间为（2，24）．

点评：本题主要考查与函数有关的应用问题，利用条件建立函数关系是解决本题的关键．