Question

已知函数f（x）=e^x-ax-1（a＞0，e为自然对数的底数）．
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系，即可求函数f（x）的最小值；
（2）要使f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，则只需求出f（x）的最小值即可得到结论．

解答： 解：（1）∵f（x）=e^x-ax-1（a＞0），
∴f'（x）=e^x-a，
由f'（x）=e^x-a=0得x=lna，
由f'（x）＞0得，x＞lna，此时函数单调递增，
由f'（x）＜0得，x＜lna，此时函数单调递减，
即f（x）在x=lna处取得极小值且为最小值，
最小值为f（lna）=e^lna-alna-1=a-alna-1．
（2）若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，
等价为f（x）_min≥0，
由（1）知，f（x）_min=a-alna-1，
设g（a）=a-alna-1，
则g'（a）=1-lna-1=-lna，
由g'（a）=0得a=1，
由g'（x）＞0得，0＜x＜1，此时函数单调递增，
由g'（x）＜0得，x＞1，此时函数单调递减，
∴g（a）在a=1处取得最大值，即g（1）=0，
因此g（a）≥0的解为a=1，
∴a=1．

点评：本题主要考查函数的单调性和导数的之间关系，以及不等式恒成立问题，将不等式恒成立转化为求函数的最值是解决本题的关键．