Question

2013年6月“神舟”发射成功．这次发射过程共有四个值得关注的环节，即发射、实验、授课、返回．据统计，由于时间关系，某班每位同学收看这四个环节的直播的概率分别为

3

4

、

1

3

、

1

2

、

2

3

，并且各个环节的直播收看互不影响．
（Ⅰ）现有该班甲、乙、丙三名同学，求这3名同学至少有2名同学收看发射直播的概率；
（Ⅱ）若用X表示该班某一位同学收看的环节数，求X的分布列与期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,互斥事件的概率加法公式

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）设“这3名同学至少有2名同学收看发射直播”为事件A，利用n次重复独立试验中事件A恰好发生k次的概率公式能求出这3名同学至少有2名同学收看发射直播的概率．
（Ⅱ）由已知条件知X可能取值为0，1，2，3，4．分别求出P（X=0），P（X=1），P（X=2），P（X=3），P（X=4），由此能求出X的分布列和数学期望．

解答： 解：（Ⅰ）设“这3名同学至少有2名同学收看发射直播”为事件A，
则P(A)=

C

2 3

(

3

4

)2×(1-

3

4

)+

C

3 3

(

3

4

)3=

27

32

．…（4分）
（Ⅱ）由条件可知X可能取值为0，1，2，3，4．
P(X=0)=(1-

3

4

)×(1-

1

3

)×(1-

1

2

)×(1-

2

3

)=

1

36

；

P(X=1)= 3 4 ×(1- 1 3 )×(1- 1 2 )×(1- 2 3 )+(1- 3 4 )× 1 3 ×(1- 1 2 )×(1- 2 3 ) +(1- 3 4 )×(1- 1 3 )× 1 2 ×(1- 2 3 )+(1- 3 4 )×(1- 1 3 )×(1- 1 2 )× 2 3 = 13 72 ；

P(X=2)= 3 4 × 1 3 ×(1- 1 2 )×(1- 2 3 )+ 3 4 ×(1- 1 3 )× 1 2 ×(1- 2 3 )+ 3 4 ×(1- 1 3 )×(1- 1 2 )× 2 3 +(1- 3 4 )× 1 3 × 1 2 ×(1- 2 3 )+(1- 3 4 )× 1 3 ×(1- 1 2 )× 2 3 +(1- 3 4 )×(1- 1 3 )× 1 2 × 2 3 = 7 18 ；

P(X=3)=(1- 3 4 )× 1 3 × 1 2 × 2 3 + 3 4 ×(1- 1 3 )× 1 2 × 2 3 + 3 4 × 1 3 ×(1- 1 2 )× 2 3 + 3 4 × 1 3 × 1 2 ×(1- 2 3 )= 23 72 ；

P(X=4)=

3

4

×

1

3

×

1

2

×

2

3

=

1

12

；
∴X的分布列

X	0	1	2	3	4
P	1 36	13 72	7 18	23 72	1 12

…（10分）
X的期望E(X)=0×

1

36

+1×

13

72

+2×

7

18

+3×

23

72

+4×

1

12

=

9

4

．…（12分）

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要注意n次重复独立试验中事件A恰好发生k次的概率公式的灵活运用．