Question

（Ⅰ）设a，b，c∈（0，+∞），求证：

a2

b

+

b2

c

+

c2

a

≥a+b+c；
（Ⅱ）已知a+b=1，对?a，b∈（0，+∞），

1

a

+

4

b

≥|2x-1|-|x+1|恒成立，求x的取值范围．

Answer 1

考点：综合法与分析法(选修）,函数恒成立问题

专题：证明题,综合题,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）a＞0，b＞0，c＞0，利用基本不等式，可得

a2

b

+b≥2a，同理

b2

c

+b≥2b，

c2

a

+a≥2c，三式累加即可证得结论成立；
（Ⅱ）利用基本不等式可求得

1

a

+

4

b

=（a+b）（

1

a

+

4

b

）=5+

b

a

+

4a

b

≥9，于是

1

a

+

4

b

≥|2x-1|-|x+1|恒成立?|2x-1|-|x+1|≤9恒成立，通过对x范围的分类讨论，去掉绝对值符号后解之，即可求得x的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵a，b，c∈（0，+∞），
∴a²+b²≥2ab，
∴

a2

b

+b≥2a，同理

b2

c

+b≥2b，

c2

a

+a≥2c，
相加得

a2

b

+

b2

c

+

c2

a

+a+b+c≥2a+2b+2c，
∴

a2

b

+

b2

c

+

c2

a

≥a+b+c；
（Ⅱ）∵a＞0，b＞0 且a+b=1，
∴

1

a

+

4

b

=（a+b）（

1

a

+

4

b

）=5+

b

a

+

4a

b

≥9，
∴

1

a

+

4

b

的最小值为9．               
∵对?a，b∈（0，+∞），

1

a

+

4

b

≥|2x-1|-|x+1|恒成立，
∴|2x-1|-|x+1|≤9．
∴当x≤-1时，2-x≤9，解得：x≥-7，
∴-7≤x≤-1；
当-1＜x＜

1

2

时，-3x≤9，解得：x≥-3，
∴-1＜x＜

1

2

；
当x≥

1

2

时，x-2≤9，解得：x≤11，
∴

1

2

≤x≤11；
综上所述，x的取值范围为：-7≤x≤11．

点评：本题考查基本不等式的应用，突出考查综合法证明不等式，考查转化思想与推理论证的能力，考查分类讨论思想与恒成立问题，属于难题．