Question

已知f（x）=x²+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，5），
（Ⅰ） 求f（x）的解析式；
（Ⅱ） 若对于任意x∈[-1，1]，不等式f（x）+t≤2恒成立，求t的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）根据不等式的解集，即可求f（x）的解析式；
（Ⅱ）根据不等式f（x）+t≤2恒成立，转化为求函数的最值即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）∵不等式f（x）＜0的解集是（0，5），
∴0，5是对应方程x²+bx+c=0的两个根，
即-b=5，c=0，
∴b=-5，c=0，
即f（x）的解析式为f（x）=x²-5x；
（Ⅱ）不等式f（x）+t≤2恒成立等价为不等式x²-5x+t-2≤0恒成立，
设g（x）=x²-5x+t-2，对称轴为x=

5

2

，
则由二次函数的图象可知在区间[-1，1]为减函数，
∴g（x）_min=g（-1）=t+4，
∴t≤-4．

点评：本题主要考查二次函数的图象和性质，将不等式恒成立转化为求函数的最值是解决本题的关键．