Question

已知函数f(x)=x+

a

x

+2，x∈[1，+∞)．
（1）当a=

1

2

时，①用定义探讨函数f（x）在区间[1，+∞）上的单调性；
②解不等式：f(2x-

1

2

)＜f(x+1006)；
（2）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）①把a=

1

2

代入函数解析式，直接由函数单调性的定义证明；
②利用函数的单调性把要求接的不等式转化为一次不等式组，求解不等式组得答案；
（2）把不等式左边的f（x）通分，由分母恒大于0，转化为分子恒大于0，然后分离变量，利用配方法求最值，则实数a的取值范围可求．

解答： 解：（1）当a=

1

2

时，f(x)=x+

1

2x

+2，
①设x₁＞x₂≥1，
f(x1)-f(x2)=x1+

1

2x1

-x2-

1

2x2

=(x1-x2)+

x2-x1

2x1x2

=(x1-x2)(1-

1

2x1x2

)
=(x1-x2)•

2x1x2-1

2x1x2

．
∵x₁＞x₂≥1，则x₁-x₂＞0，x₁x₂＞1，2x₁x₂-1＞0，
∴(x1-x2)•

2x1x2-1

2x1x2

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴函数f（x）在[1，+∞）上为增函数；
②∵f（x）在[1，+∞）上为增函数，
∴f(2x-

1

2

)＜f(x+1006)?

2x- 1 2 ≥1 2x- 1 2 ＜x+1006

，
解得：

3

4

≤x＜

2013

2

，故原不等式解集为{x|

3

4

≤x＜

2013

2

}；
（2）对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，
即

x2+2x+a

x

＞0在[1，+∞）上恒成立?a＞-x²-2x在[1，+∞）上恒成立，
记g（x）=-x²-2x=-（x+1）²+1，∴g_max（x）=g（1）=-3，
故a＞-3．
∴实数a的取值范围是（-3，+∞）．

点评：本题考查恒成立问题，训练了利用定义法证明函数的单调性，考查了数学转化思想方法，训练了分离变量法和利用配方法求函数最值，是中档题．